[B.1] Écriture d’un entier dans une base b>=2

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Compter avec ses doigts

Nos 10 doigts

Nous avons 10 doigts que nous emportons partout avec nous. Ces outils sont pratiques pour aider à compter. Nous utilisons donc une manière de compter qui utilise nos 10 doigts : la base 10.

Nos nombres s’écrivent avec 10 symboles (chiffres) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Quand on dépasse 9, on utilise une nouvelle position (chiffre) pour se “rappeler” qu’on a fait un tour complet des chiffres disponibles.

Ainsi :

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tour complet
• 10, 11, 12, …, 19, tour complet suivant
• 20, 21, …, 29, …, tour complet suivant
• …
• …, 97, 98, 99, tour complet suivant
• 100, 101, …

Avec moins ou plus de doigts

En se coupant des doigts, ou en vivant dans un monde de dessins animés / bandes dessinées, on peut imaginer compter avec un autre nombre de doigts, et donc dans une autre base.

• Si on n’avait que 4 doigts à chaque main, on compterait en base 8 (en octal) : 0,1,2,3,4,5,6,7, tour complet 10,11,…, 77, tour complet suivant 100,…

• Si on n’avait que 3 doigts à chaque main, on compterait en base 6 (en sénaire)

  0,1,2,3,4,5, tour complet 10,11,…, 55, tour complet suivant 100,…

• Si on n’avait que 2 doigts à chaque main, on compterait en base 4 (en quaternaire) : 0,1,2,3, tour complet 10,11,…, 33, tour complet suivant 100,…

• Si on n’avait qu’un doigt à chaque main, on compterait en base 2 (en binaire)

  0,1, tour complet 10,11,… 111, tour complet suivant 1000,…

Et avec plus de doigts ? il faut plus de chiffres… avec 6 doigts à chaque main, soit 12 doigts, il faut 12 chiffres, mais attention 10 et 11 ne sont pas des chiffres, ce sont des nombres écrits avec deux chiffres ! Il faut donc inventer deux nouveaux symboles pour représenter les 10 et 11ème chiffres. Plutôt que de réinventer un symbole, on choisit souvent les lettres majuscules : A pour 10 et B pour 11 (et ainsi de suite si besoin. Pour les bases supérieures à 36 on peut utiliser les lettres minuscules aussi ou l’alphabet grec).

• Si on avait 6 doigts à chaque main, on compterait en base 12 (en duodécimal) : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B, tour complet 10,11,…, BB, tour complet suivant 100,…

• Si on avait 8 doigts à chaque main, on compterait en base 16 (en hexadécimal)

  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, tour complet 10,11,…, FF, tour complet suivant 100,…

En s’intéressant aux 20 premiers entiers, on peut écrire le tableau suivant pour les bases 10, 8, 4, 2 et 16 :

Décimal (base 10)	Octal (base 8)	Quaternaire (base 4)	Binaire (base 2)	Hexadécimal (base 16)
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	2	2	10	2
3	3	3	11	3
4	4	10	100	4
5	5	11	101	5
6	6	12	110	6
7	7	13	111	7
8	10	20	1000	8
9	11	21	1001	9
10	12	22	1010	A
11	13	23	1011	B
12	14	30	1100	C
13	15	31	1101	D
14	16	32	1110	E
15	17	33	1111	F
16	20	100	10000	10
17	21	101	10001	11
18	22	102	10010	12
19	23	103	10011	13

Numération de position

Dans cette manière de compter, chaque position (chiffre) a une valeur qui dépend de sa position. Ce n’est pas le cas dans la numération non positionnelle comme les chiffres romains ( $XIV = 10 + 5 - 1 = 14$ ).

Par exemple, en base 10, le nombre 1789 s’écrit avec 4 chiffres (positions) : 1, 7, 8 et 9. La valeur de chaque position est :

• 1 millier : $1 \times 1000 = 1 \times 10^3 = 1000$
• 7 centaines : $7 \times 100 = 7 \times 10^2 = 700$
• 8 dizaines : $8 \times 10 = 8 \times 10^1 = 80$
• 9 unités : $9 \times 1 = 9 \times 10^0 = 9$

De manière générale, un nombre $a_n a_{n-1} ... a_2 a_1 a_0$ s’écrit en base b (avec b un entier supérieur ou égal à 2) :

$$a_n \times 10_b^n + a_{n-1} \times 10_b^{n-1} + ... + a_2 \times 10_b^2 + a_1 \times 10_b^1 + a_0 \times 10_b^0$$

soit, en décimal :

$$a_n \times b^n + a_{n-1} \times b^{n-1} + ... + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0$$

Quand on écrit avec une base b supérieure à 10, on utilise les lettres A, B, C, D, E… pour représenter les chiffres supérieurs à 9.

Cas particulier : la base 2 (binaire)

Vocabulaire

• un bit (contraction de “binary digit”) est un chiffre binaire (0 ou 1), abbréviation “b”
• un octet est un groupe de 8 bits (en anglais “byte”), abbréviation “o” en français, “B” en anglais.
• un kilo-octet (Ko) est 1024 octets (2^10 = 1024), et non 1000 comme dans le système métrique,
• un méga-octet (Mo) est 1024 kilo-octet, etc..

Liste des préfixes par ordre croissant : kilo (k), méga (M), giga (G), téra (T), péta (P) et pour la culture only : exa (E), zetta (Z), yotta (Y).

Conversion binaire -> décimal

Les puissances de 2 sont à connaître par coeur au moins jusqu’à 2^12 :

Puissance	Valeur décimale
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
11	2048
12	4096
13	8192
14	16384
15	32768
16	65536

La conversion d’un nombre binaire vers le décimal s’effectue assez facilement :

• en partant de la droite du nombre binaire, on se récite les puissances de 2 (1,2,4,8,16,…)
• on ne garde que les puissances de 2 correspondant aux positions où il y a un 1
• on fait la somme de ces puissances de 2

Astuce : quand on a un nombre du genre 1111 1111, on peut remarquer que le nombre juste après est 1 0000 0000, qui est beaucoup plus facile à convertir en décimal (ici 256). On peut donc calculer 1111 1111 en faisant 256 - 1 = 255.

Calculs en binaire

Les tables d’addition et de multiplication en binaire sont très simples :

a	b	a+b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	10

a	b	a×b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

On peut donc faire des additions et des multiplications en binaire, de la même manière qu’en décimal, en se rappelant que 1+1=10 (retenue 1) et 1×1=1.

Exercice : effectuer les opérations suivantes en binaire, et vérifiez vos calculs en passant par le décimal.

• 1011 0100 + 1011 1101
• 1011 x 110

Conversion décimal -> base 2

Cette méthode par soustractions successives ne fonctionne que pour le binaire (car on a un seul choix pour chaque puissance de la base : elle est présente ou pas).

Passages binaire <-> hexadécimal <-> octal

Hexadécimal

Le passage du binaire vers l’hexadécimal est très simple : on regroupe les bits par 4, en partant de la droite (on ajoute des 0 à gauche si besoin), puis on convertit chaque groupe de 4 bits en un chiffre hexadécimal (de 0 à F).

Pour passer de l’hexadécimal vers le binaire, on fait l’inverse : on convertit chaque chiffre hexadécimal en un groupe de 4 bits, puis on concatène les groupes.

Octal

C’est le même principe, mais on regroupe par 3 bits, pour obtentir des chiffres octaux (base 8, donc chiffres de 0 à 7).

Pour passer de l’octal vers le binaire, on fait l’inverse : on convertit chaque chiffre octal en un groupe de 3 bits, puis on concatène les groupes.

Passage décimal -> base b quelconque

Pour convertir un nombre décimal en une base b quelconque (supérieure ou égale à 2), on utilise la méthode des divisions successives.