Rappels utiles :

• une table de vérité a $2^n$ lignes pour n entrées : 4 lignes pour 2 entrées, 8 pour 3,
• on la remplit avec une colonne intermédiaire par opérateur, jamais en devinant la sortie,
• priorités : parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU et XOR,
• $\overline{a}$ se lit NON a ; la barre indique jusqu’où porte le NON.

En classe

Exercice 1 : du schéma vers l’expression

Écrivez l’expression booléenne de la sortie S de chacun de ces trois circuits.

Méthode : nommez d’abord la sortie de chaque porte (A, B, C…), écrivez l’expression de chacune, puis remplacez de proche en proche jusqu’à n’avoir plus que E1, E2, E3.

Circuit 2 (cours)

Circuit 3 (cours)

Circuit 1 (maison)

Exercice 2 : de l’expression vers le schéma

Dessinez le schéma correspondant à chacune de ces expressions, puis donnez le nombre de portes utilisées :

1. $S = (a \text{ ET } b) \text{ OU } \overline{c}$
2. $S = \overline{a \text{ OU } (b \text{ ET } c)}$
3. $S = (a \text{ XOR } b) \text{ ET } (a \text{ OU } b)$

Attention à la question 2 : la barre porte sur toute l’expression. Vérifiez ensuite vos trois circuits dans le simulateur.

Exercice 3 : tables de vérité d’expressions

Dressez la table de vérité de chacune de ces expressions, avec les colonnes intermédiaires :

1. $S = \overline{a \text{ OU } b}$
2. $S = (a \text{ OU } b) \text{ ET } \overline{(a \text{ ET } b)}$
3. $S = (a \text{ ET } b) \text{ OU } \overline{c}$
4. $S = \overline{a} \text{ OU } (b \text{ XOR } c)$

Puis : les expressions 1 et 2 correspondent chacune à une seule porte vue dans le cours. Lesquelles ?

Exercice 4 : l’additionneur 8 bits

1. Un demi-additionneur utilise 2 portes, un additionneur complet en utilise 5. Combien de portes compte un additionneur 8 bits ?
2. Et si on remplace l’étage du bit 0 par un simple demi-additionneur ?
3. Posez en binaire sur 8 bits l’addition 1111 1111 + 0000 0001. Que vaut la retenue finale r8 ? Que vaut la somme lue sur 8 bits ?

Maison

Exercice 5 : encore des tables

Même travail qu’à l’exercice 3, avec les colonnes intermédiaires :

1. $S = \overline{a} \text{ ET } (b \text{ OU } c)$
2. $S = (a \text{ XOR } b) \text{ XOR } c$
3. $S = \overline{a \text{ ET } b} \text{ OU } c$

Pour la 2 : regardez, ligne par ligne, combien d’entrées valent 1 quand S vaut 1. Que compte ce circuit ?

Exercice 6 : les additionneurs

Écrivez les expressions booléennes des deux sorties de chacun de ces circuits, en fonction de leurs entrées.

Le demi-additionneur

L’additionneur complet

Ici les deux blocs demi-additionneur sont ceux du circuit précédent : commencez par écrire ce que sortent le n° 1 et le n° 2, puis remplacez.

Exercice 7 : de l’expression vers le schéma

Dessinez le schéma, et donnez le nombre de portes :

1. $S = \overline{a} \text{ ET } \overline{b}$
2. $S = (a \text{ OU } b) \text{ ET } (b \text{ OU } c)$
3. $S = \overline{(a \text{ XOR } b)} \text{ OU } c$

Exercice 8 : équivalentes ou pas ?

Deux expressions sont équivalentes si elles ont la même table de vérité. Pour chacune de ces trois paires, dressez les deux tables et concluez :

1. $\overline{a \text{ OU } b}$ et $\overline{a} \text{ ET } \overline{b}$
2. $\overline{a \text{ ET } b}$ et $\overline{a} \text{ ET } \overline{b}$
3. $a \text{ XOR } b$ et $(a \text{ OU } b) \text{ ET } \overline{(a \text{ ET } b)}$

Exercice 9 : une alarme

Une alarme de maison dispose de trois informations, toutes booléennes :

• a : le système est armé,
• p : la porte est ouverte,
• f : une fenêtre est ouverte.

1. L’alarme sonne si le système est armé et qu’au moins une ouverture est ouverte. Écrivez l’expression booléenne de la sortie S.
2. Dressez sa table de vérité (3 entrées, donc 8 lignes).
3. Dessinez le schéma correspondant.
4. On ajoute un quatrième capteur c : le bon code a été tapé. L’alarme ne doit alors pas sonner. Modifiez l’expression.

Exercice 10 : pour info, non exigible

Le calcul sur les expressions booléennes n’est pas au programme : cet exercice est un bonus, pour ceux qui veulent voir à quoi servent les règles données en fin de cours.

1. En utilisant a ET (NON a) = 0, simplifiez l’expression du circuit 2 du cours (exercice 1). Que vaut sa sortie, quelles que soient les entrées ?
2. En utilisant les lois de De Morgan, réécrivez $\overline{a \text{ OU } (b \text{ ET } c)}$ sans aucune barre portant sur plus d’une variable. Combien de portes dans le schéma de départ ? dans celui d’arrivée ?